BTR · Klasse EE61 · Lernfeld 1

Schaltungen berechnen

Reihe, parallel, gemischt und das Potenzial. Jeder Schritt erklärt, mit Aufgaben wie auf deinen Blättern.

1 · Die Grundlagen
2 · Die Reihenschaltung
3 · Die Parallelschaltung
4 · Gemischte Schaltungen
5 · Das Potenzial
6 · Umzeichnen
7 · Spickzettel

Kapitel 1

Die Grundlagen

Bevor du eine Schaltung berechnen kannst, brauchst du drei Größen und eine einzige Formel. Alles andere in diesem Lernfeld baut darauf auf. Nimm dir für dieses Kapitel Zeit, es spart dir später viele Fehler.

Die drei Größen

Spannung

Name	Spannung
Einheit	Volt, Zeichen V
Bedeutung	Der Antrieb für den Strom. Stell dir Wasser in einer Leitung vor: Die Spannung ist der Druckunterschied, der das Wasser schiebt.
Wichtig	Eine Spannung gibt es immer zwischen zwei Punkten. Deshalb zeichnet man sie als Pfeil von einem Punkt zum anderen.

Strom

Name	Stromstärke, kurz Strom
Einheit	Ampere, Zeichen A
Bedeutung	Wie viel Ladung pro Sekunde durch einen Leiter fließt. Beim Wasser: wie viele Liter pro Sekunde durch das Rohr laufen.
Wichtig	Der Strom fließt durch ein Bauteil. In der Technik zählt man ihn außerhalb der Quelle vom Pluspol zum Minuspol.

Widerstand

Name	Widerstand
Einheit	Ohm, Zeichen Ω
Bedeutung	Wie stark ein Bauteil den Strom bremst. Beim Wasser: wie eng das Rohr ist.
Wichtig	Großer Widerstand heißt kleiner Strom, wenn die Spannung gleich bleibt.

Das Ohmsche Gesetz

Die drei Größen hängen immer gleich zusammen. Das ist die wichtigste Formel des ganzen Lernfelds:

U = R · I

U	Spannung am Bauteil in V
R	Widerstand des Bauteils in Ω
I	Strom durch das Bauteil in A
In Worten	Die Spannung an einem Widerstand ist Widerstand mal Strom.

Du kannst die Formel nach jeder Größe umstellen. Du musst dir also nur eine merken:

I = UR

gesucht	der Strom

R = UI

gesucht	der Widerstand

U = R · I

gesucht	die Spannung

💡Merkhilfe: das Dreieck

Schreib U oben, R und I unten nebeneinander. Halte den Finger auf die Größe, die du suchst. Was übrig bleibt, ist die Rechnung: U oben über R unten heißt »U geteilt durch R«. R und I nebeneinander heißt »R mal I«.

Beispiel, ganz langsam

GegebenU = 12 VR = 60 Ω

GesuchtI

1Formel aussuchen

Gesucht ist der Strom. Gegeben sind Spannung und Widerstand. Also die Form, bei der I allein links steht.

I = UR

2Einsetzen, mit Einheiten

Schreib die Einheiten immer mit. Dann siehst du sofort, ob das Ergebnis Sinn ergibt: Volt geteilt durch Ohm ergibt Ampere.

I = 12 V60 Ω

= 0,2 A

= 200 mA

Die kleinen Zahlen an den Buchstaben

Auf deinen Blättern stehen fast immer kleine Zahlen oder Buchstaben unten an den Zeichen. Sie sagen, welches Bauteil oder welche Punkte gemeint sind:

Zeichen	heißt
R₁	Widerstand Nummer 1
U₁	die Spannung an R₁
I₁	der Strom durch R₁
R_ges, U_ges, I_ges	»gesamt«: die Werte der ganzen Schaltung. R_ges heißt auch Ersatzwiderstand, weil ein einziger Widerstand mit diesem Wert die ganze Schaltung ersetzen könnte.
U₁₂, U_AB	die Spannung von Punkt 1 nach Punkt 2, von A nach B
R₂₃	R₂ und R₃ zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst

Einheiten umrechnen

Rechne in den Formeln immer in V, A und Ω. Steht auf dem Blatt mA oder kΩ, rechne vorher um:

Vorsatz	heißt	Beispiel
k (kilo)	mal 1000	4,7 kΩ = 4700 Ω
m (milli)	durch 1000	15 mA = 0,015 A
M (mega)	mal 1 000 000	1 MΩ = 1 000 000 Ω

★Merke

Volt durch Kiloohm ergibt Milliampere. Das ist ein schöner Kurzweg: 12 V durch 2 kΩ sind 6 mA.

Übungen

1.1Ohmsches Gesetzleicht

An einer Heizung liegen U = 230 V. Ihr Widerstand ist R = 46 Ω. Wie groß ist der Strom?

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Welche Größe ist gesucht? Finger im Dreieck drauf, dann steht die Rechnung da.

Lösung mit Rechenweg

I = UR

= 230 V46 Ω

= 5 A

Kann ich, erledigt

1.2Ohmsches Gesetzleicht

Durch einen Widerstand R = 48 Ω fließen I = 0,25 A. Welche Spannung liegt an ihm?

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Welche Größe ist gesucht? Finger im Dreieck drauf, dann steht die Rechnung da.

Lösung mit Rechenweg

U = R · I

= 48 Ω · 0,25 A

= 12 V

Kann ich, erledigt

1.3Ohmsches Gesetzleicht

Eine 9-V-Batterie liefert 15 mA. Wie groß ist der Widerstand der Schaltung? Achtung, Einheit.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Welche Größe ist gesucht? Finger im Dreieck drauf, dann steht die Rechnung da.

Lösung mit Rechenweg

R = UI

= 9 V15 mA = 9 V0,015 A

= 600 Ω

Kann ich, erledigt

1.4Ohmsches Gesetzleicht

An einem Widerstand R = 4,8 kΩ liegen U = 24 V. Wie groß ist der Strom?

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Welche Größe ist gesucht? Finger im Dreieck drauf, dann steht die Rechnung da.

Lösung mit Rechenweg

I = UR

= 24 V4800 Ω

= 0,005 A = 5 mA

Kann ich, erledigt

Kapitel 2

Die Reihenschaltung

In einer Reihenschaltung liegen die Bauteile hintereinander, wie Perlen an einer Kette. Der Strom hat nur einen einzigen Weg.

So erkennst du eine Reihe

Zwischen zwei Bauteilen gibt es keinen Abzweig. Kein Punkt, an dem eine dritte Leitung weggeht. Was aus R₁ herauskommt, muss vollständig in R₂ hinein.

Drei Widerstände in Reihe zwischen den Klemmen A und B

Die vier Regeln der Reihenschaltung

Regel 1: der Strom

I = I₁ = I₂ = I₃

Was	Der Strom ist überall gleich.
Warum	Es gibt keinen Abzweig. Ladung kann nirgends verschwinden und nirgends dazukommen. Was vorne hineinfließt, fließt hinten wieder heraus.

Regel 2: die Spannung

U = U₁ + U₂ + U₃

Was	Die Spannung teilt sich auf. Die Teilspannungen zusammen ergeben die Gesamtspannung.
Warum	Stell dir eine Treppe vor: Die Quelle hebt dich 24 Stufen hoch, und über die drei Widerstände gehst du alle 24 Stufen wieder hinunter. Keine Stufe geht verloren.

Regel 3: der Widerstand

R_ges = R₁ + R₂ + R₃

R_ges	Gesamtwiderstand, auch Ersatzwiderstand
Was	Die Widerstände werden einfach addiert.
Warum	Der Strom muss durch jedes Hindernis durch. Jedes weitere Hindernis bremst zusätzlich.
Kontrolle	R_ges ist immer größer als der größte Einzelwiderstand.

Regel 4: das Spannungsverhältnis

U₁U₂ = R₁R₂

Was	Die Spannungen verhalten sich wie die Widerstände.
Warum	Durch beide fließt derselbe Strom. Nach U = R · I bekommt der doppelt so große Widerstand die doppelt so große Spannung.
Nützlich	U₁ = U · R₁R_ges, das ist der Spannungsteiler.

Vorbild: komplett vorgerechnet

GegebenU = 24 VR₁ = 100 ΩR₂ = 200 ΩR₃ = 300 Ω

GesuchtR_gesIU₁U₂U₃

1Gesamtwiderstand

In der Reihe liegen die Widerstände hintereinander. Der Strom muss durch alle durch, also zählen alle zusammen: addieren.

R_ges = R₁ + R₂ + R₃

= 100 Ω + 200 Ω + 300 Ω

= 600 Ω

2Strom

Die ganze Schaltung wirkt wie ein einziger Widerstand R_ges. Ohmsches Gesetz, nach I umgestellt. Dieser Strom fließt durch jeden Widerstand, denn es gibt keinen Abzweig.

I = UR_ges

= 24 V600 Ω

= 0,04 A = 40 mA

3Teilspannungen

Jetzt für jeden Widerstand einzeln: Strom mal Widerstand. Rechne mit dem Strom in Ampere, dann kommt Volt heraus.

U₁ = I · R₁

= 0,04 A · 100 Ω

= 4 V

U₂ = I · R₂

= 0,04 A · 200 Ω

= 8 V

U₃ = I · R₃

= 0,04 A · 300 Ω

= 12 V

4Probe

Die Teilspannungen müssen zusammen wieder die Quellspannung ergeben. Geht das auf, stimmt alles davor.

U₁ + U₂ + U₃

= 4 V + 8 V + 12 V

= 24 V = U ✓

💡Derselbe Wert, schneller: der Spannungsteiler

Brauchst du nur eine Teilspannung, zum Beispiel U₃, geht es ohne den Strom:

U₃ = U · R₃R_ges

= 24 V · 300 Ω600 Ω

= 24 V · 0,5 = 12 V

Der größte Widerstand hat die Hälfte des gesamten Widerstands, also bekommt er die Hälfte der Spannung.

✗Die typischen Fehler

mA oder kΩ nicht umgerechnet. 24 V durch 600 Ω ist 0,04 A, nicht 40 A.
Die Probe weggelassen. Die Summe der Teilspannungen muss die Quellspannung ergeben. Dauert zehn Sekunden und findet fast jeden Fehler.
R_ges kleiner als ein Einzelwiderstand. In einer Reihe ist das unmöglich. Dann hast du dich verrechnet oder es ist gar keine Reihe.

Übungen

2.1Reihe komplettleicht

Berechne R_ges, den Strom I und alle Teilspannungen. Mach am Ende die Probe.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Reihe heißt: ein einziger Weg. Erst R_ges durch Addieren, dann I = U / R_ges, dann jede Teilspannung mit U = I · R.

Lösung mit Rechenweg

GegebenU = 30 VR₁ = 40 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 Ω

GesuchtR_gesIU₁U₂U₃

1Gesamtwiderstand

In der Reihe liegen die Widerstände hintereinander. Der Strom muss durch alle durch, also zählen alle zusammen: addieren.

R_ges = R₁ + R₂ + R₃

= 40 Ω + 5 Ω + 5 Ω

= 50 Ω

2Strom

Die ganze Schaltung wirkt wie ein einziger Widerstand R_ges. Ohmsches Gesetz, nach I umgestellt. Dieser Strom fließt durch jeden Widerstand, denn es gibt keinen Abzweig.

I = UR_ges

= 30 V50 Ω

= 0,6 A = 600 mA

3Teilspannungen

Jetzt für jeden Widerstand einzeln: Strom mal Widerstand. Rechne mit dem Strom in Ampere, dann kommt Volt heraus.

U₁ = I · R₁

= 0,6 A · 40 Ω

= 24 V

U₂ = I · R₂

= 0,6 A · 5 Ω

= 3 V

U₃ = I · R₃

= 0,6 A · 5 Ω

= 3 V

4Probe

Die Teilspannungen müssen zusammen wieder die Quellspannung ergeben. Geht das auf, stimmt alles davor.

U₁ + U₂ + U₃

= 24 V + 3 V + 3 V

= 30 V = U ✓

Kann ich, erledigt

2.2Vier Widerstände in Reihemittel

Berechne R_ges, den Strom I und alle Teilspannungen. Mach am Ende die Probe.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Reihe heißt: ein einziger Weg. Erst R_ges durch Addieren, dann I = U / R_ges, dann jede Teilspannung mit U = I · R.

Lösung mit Rechenweg

GegebenU = 120 VR₁ = 15 ΩR₂ = 80 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 Ω

GesuchtR_gesIU₁U₂U₃U₄

1Gesamtwiderstand

In der Reihe liegen die Widerstände hintereinander. Der Strom muss durch alle durch, also zählen alle zusammen: addieren.

R_ges = R₁ + R₂ + R₃ + R₄

= 15 Ω + 80 Ω + 5 Ω + 20 Ω

= 120 Ω

2Strom

Die ganze Schaltung wirkt wie ein einziger Widerstand R_ges. Ohmsches Gesetz, nach I umgestellt. Dieser Strom fließt durch jeden Widerstand, denn es gibt keinen Abzweig.

I = UR_ges

= 120 V120 Ω

= 1 A

3Teilspannungen

Jetzt für jeden Widerstand einzeln: Strom mal Widerstand. Rechne mit dem Strom in Ampere, dann kommt Volt heraus.

U₁ = I · R₁

= 1 A · 15 Ω

= 15 V

U₂ = I · R₂

= 1 A · 80 Ω

= 80 V

U₃ = I · R₃

= 1 A · 5 Ω

= 5 V

U₄ = I · R₄

= 1 A · 20 Ω

= 20 V

4Probe

Die Teilspannungen müssen zusammen wieder die Quellspannung ergeben. Geht das auf, stimmt alles davor.

U₁ + U₂ + U₃ + U₄

= 15 V + 80 V + 5 V + 20 V

= 120 V = U ✓

Kann ich, erledigt

2.3Reihe mit Kiloohmmittel

Berechne R_ges, den Strom I und alle Teilspannungen. Mach am Ende die Probe.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Rechne kΩ in Ω um, dann kommt der Strom in Ampere heraus. Er ist klein, schreib ihn am Ende zusätzlich in mA.

Lösung mit Rechenweg

GegebenU = 48 VR₁ = 2 kΩR₂ = 2 kΩR₃ = 1 kΩ

GesuchtR_gesIU₁U₂U₃

1Gesamtwiderstand

In der Reihe liegen die Widerstände hintereinander. Der Strom muss durch alle durch, also zählen alle zusammen: addieren.

R_ges = R₁ + R₂ + R₃

= 2000 Ω + 2000 Ω + 1000 Ω

= 5000 Ω

2Strom

Die ganze Schaltung wirkt wie ein einziger Widerstand R_ges. Ohmsches Gesetz, nach I umgestellt. Dieser Strom fließt durch jeden Widerstand, denn es gibt keinen Abzweig.

I = UR_ges

= 48 V5000 Ω

≈ 0,0096 A = 9,6 mA

3Teilspannungen

Jetzt für jeden Widerstand einzeln: Strom mal Widerstand. Rechne mit dem Strom in Ampere, dann kommt Volt heraus.

U₁ = I · R₁

= 0,0096 A · 2000 Ω

≈ 19,2 V

U₂ = I · R₂

= 0,0096 A · 2000 Ω

≈ 19,2 V

U₃ = I · R₃

= 0,0096 A · 1000 Ω

≈ 9,6 V

4Probe

Die Teilspannungen müssen zusammen wieder die Quellspannung ergeben. Geht das auf, stimmt alles davor.

U₁ + U₂ + U₃

= 19,2 V + 19,2 V + 9,6 V

= 48 V = U ✓

Kann ich, erledigt

2.4Rückwärts: der fehlende Widerstandmittel

Zwei Widerstände liegen in Reihe an U = 36 V. R₁ = 40 Ω, R₂ ist unbekannt. Gemessen wird I = 600 mA. Wie groß ist R₂, und welche Spannungen liegen an den beiden?

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Aus U und I bekommst du den Widerstand der ganzen Schaltung.

Lösung mit Rechenweg

GegebenU = 36 VR₁ = 40 ΩI = 600 mA

GesuchtR₂U₁U₂

1Gesamtwiderstand aus U und I

Du kennst Spannung und Strom der ganzen Schaltung. Damit bekommst du R_ges.

R_ges = UI

= 36 V0,6 A

= 60 Ω

2Fehlender Widerstand

In der Reihe ist R_ges die Summe. Also bleibt für R₂ übrig, was R₁ nicht abdeckt.

R₂ = R_ges − R₁

= 60 Ω − 40 Ω

= 20 Ω

3Teilspannungen

Strom mal Widerstand, für jeden einzeln.

U₁ = I · R₁

= 0,6 A · 40 Ω

= 24 V

U₂ = I · R₂

= 0,6 A · 20 Ω

= 12 V

4Probe

Zusammen muss wieder U herauskommen.

U₁ + U₂

= 24 V + 12 V

= 36 V ✓

Kann ich, erledigt

2.5Spannungsteilermittel

Berechne U₁ und U₂ nur mit dem Spannungsverhältnis, ohne vorher den Strom auszurechnen.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Nur Verhältnisse, kein Strom: U₁ = U · R₁ / (R₁ + R₂).

Lösung mit Rechenweg

In Reihe gilt U₁ : U₂ = R₁ : R₂ = 60 : 90.

U₁ = U · R₁ / (R₁ + R₂) = 48 V · 60 Ω / 150 Ω = 19,2 V

U₂ = U − U₁ = 48 V − 19,2 V = 28,8 V

Kontrolle: Der größere Widerstand hat die größere Spannung ✓

Kann ich, erledigt

Kapitel 3

Die Parallelschaltung

In einer Parallelschaltung liegen die Bauteile nebeneinander zwischen denselben zwei Punkten. Der Strom hat mehrere Wege, er teilt sich auf.

So erkennst du parallel

Beide Enden jedes Bauteils hängen am selben Knoten. Ein Knoten ist ein Punkt, an dem sich der Strom verzweigt, im Schaltplan meistens ein dicker Punkt.

Drei Widerstände parallel zwischen A und B

Die vier Regeln der Parallelschaltung

Regel 1: die Spannung

U = U₁ = U₂ = U₃

Was	Die Spannung ist überall gleich.
Warum	Jedes Bauteil hängt direkt an denselben zwei Punkten. Zwischen zwei Punkten gibt es nur eine Spannung.

Regel 2: der Strom

I = I₁ + I₂ + I₃

Was	Der Strom teilt sich auf. Die Zweigströme zusammen ergeben den Gesamtstrom.
Warum	Das ist die Knotenregel: Was in einen Knoten hineinfließt, fließt auch wieder heraus. Wie Wasser, das sich auf mehrere Rohre verteilt.

Regel 3: der Widerstand

1R_ges = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃

Was	Nicht die Widerstände addieren sich, sondern ihre Kehrwerte.
Warum	Jeder zusätzliche Zweig ist ein zusätzlicher Weg für den Strom. Mehr Wege heißt: Der Strom kommt leichter durch. Der Kehrwert 1/R heißt Leitwert G, Einheit Siemens (S). Leitwerte addieren sich.
Achtung	Am Ende den Kehrwert nehmen! Du rechnest erst 1/R_ges aus, gesucht ist aber R_ges.
Kontrolle	R_ges ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.

Abkürzung: zwei Widerstände

R_ges = R₁ · R₂R₁ + R₂

Gilt	nur für genau zwei Widerstände
Merkspruch	Produkt durch Summe

Abkürzung: gleiche Widerstände

R_ges = Rn

Gilt	für n gleiche Widerstände R
Beispiel	vier mal 100 Ω parallel ergeben 25 Ω

Regel 4: das Stromverhältnis

I₁I₂ = R₂R₁

Was	Die Ströme verhalten sich umgekehrt wie die Widerstände.
Warum	An beiden liegt dieselbe Spannung. Nach I = U / R bekommt der kleinere Widerstand den größeren Strom.
Nützlich	I₁ = I · R₂R₁ + R₂, das ist der Stromteiler. Oben steht der andere Widerstand.

Vorbild: komplett vorgerechnet

GegebenU = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 60 Ω

GesuchtI₁I₂I₃IR_ges

1Zweigströme

Jeder Zweig hängt direkt an denselben zwei Punkten, also bekommt jeder die volle Spannung U. Für jeden Zweig einzeln das Ohmsche Gesetz.

I₁ = UR₁

= 12 V20 Ω

= 0,6 A = 600 mA

I₂ = UR₂

= 12 V30 Ω

= 0,4 A = 400 mA

I₃ = UR₃

= 12 V60 Ω

= 0,2 A = 200 mA

2Gesamtstrom

Am Knoten teilt sich der Strom auf und kommt am anderen Knoten wieder zusammen. Also: Zweigströme addieren.

I = I₁ + I₂ + I₃

= 0,6 A + 0,4 A + 0,2 A

= 1,2 A

3Gesamtwiderstand

Der schnellste Weg: Ohmsches Gesetz mit dem Gesamtstrom. Zur Kontrolle danach noch über die Kehrwerte.

R_ges = UI

= 12 V1,2 A

= 10 Ω

4Probe über die Kehrwerte

Parallel addieren sich die Kehrwerte. Am Ende den Kehrwert nehmen, sonst hast du 1/R_ges statt R_ges.

1R_ges = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃

= 120 Ω + 130 Ω + 160 Ω

= 360 Ω + 260 Ω + 160 Ω (gleicher Nenner)

= 660 Ω

R_ges = 60 Ω6

= 10 Ω

Kontrolle mit dem Gefühl: R_ges = 10 Ω ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand (20 Ω). ✓

Vorbild: Produkt durch Summe

GegebenR₁ = 40 ΩR₂ = 60 Ω

GesuchtR_ges

1Formel für zwei Widerstände

Genau zwei Widerstände parallel, also darf die Abkürzung benutzt werden.

R_ges = R₁ · R₂R₁ + R₂

= 40 Ω · 60 Ω40 Ω + 60 Ω

= 2400 Ω²100 Ω

= 24 Ω

Kontrolle: 24 Ω ist kleiner als 40 Ω. ✓ Einheit: Ω mal Ω durch Ω ergibt Ω.

✗Die typischen Fehler

Kehrwert vergessen. 1/R_ges = 0,1 S heißt R_ges = 10 Ω, nicht 0,1 Ω.
Produkt durch Summe bei drei Widerständen. Die Abkürzung gilt nur für zwei. Bei drei: erst zwei zusammenfassen, dann das Ergebnis mit dem dritten.
Stromteiler falsch herum. Der kleinere Widerstand bekommt den größeren Strom.
Den Gesamtstrom durch einen einzelnen Zweig schicken. Durch jeden Zweig fließt nur sein eigener Teil.

Übungen

3.1Zwei Widerstände parallelleicht

Berechne alle Zweigströme, den Gesamtstrom und R_ges.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Parallel heißt: überall dieselbe Spannung. Erst jeden Zweigstrom mit I = U / R, dann addieren, dann R_ges = U / I.

Lösung mit Rechenweg

GegebenU = 36 VR₁ = 120 ΩR₂ = 180 Ω

GesuchtI₁I₂IR_ges

1Zweigströme

Jeder Zweig hängt direkt an denselben zwei Punkten, also bekommt jeder die volle Spannung U. Für jeden Zweig einzeln das Ohmsche Gesetz.

I₁ = UR₁

= 36 V120 Ω

= 0,3 A = 300 mA

I₂ = UR₂

= 36 V180 Ω

= 0,2 A = 200 mA

2Gesamtstrom

Am Knoten teilt sich der Strom auf und kommt am anderen Knoten wieder zusammen. Also: Zweigströme addieren.

I = I₁ + I₂

= 0,3 A + 0,2 A

= 0,5 A = 500 mA

3Gesamtwiderstand

Der schnellste Weg: Ohmsches Gesetz mit dem Gesamtstrom. Zur Kontrolle danach noch über die Kehrwerte.

R_ges = UI

= 36 V0,5 A

= 72 Ω

4Probe über die Kehrwerte

Parallel addieren sich die Kehrwerte. Am Ende den Kehrwert nehmen, sonst hast du 1/R_ges statt R_ges.

1R_ges = 1R₁ + 1R₂

= 1120 Ω + 1180 Ω

= 3360 Ω + 2360 Ω (gleicher Nenner)

= 5360 Ω

R_ges = 360 Ω5

= 72 Ω

Kontrolle mit dem Gefühl: R_ges = 72 Ω ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand (120 Ω). ✓

Kann ich, erledigt

3.2Drei Widerstände parallelmittel

Berechne alle Zweigströme, den Gesamtstrom und R_ges.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Parallel heißt: überall dieselbe Spannung. Erst jeden Zweigstrom mit I = U / R, dann addieren, dann R_ges = U / I.

Lösung mit Rechenweg

GegebenU = 72 VR₁ = 60 ΩR₂ = 50 ΩR₃ = 60 Ω

GesuchtI₁I₂I₃IR_ges

1Zweigströme

Jeder Zweig hängt direkt an denselben zwei Punkten, also bekommt jeder die volle Spannung U. Für jeden Zweig einzeln das Ohmsche Gesetz.

I₁ = UR₁

= 72 V60 Ω

= 1,2 A

I₂ = UR₂

= 72 V50 Ω

= 1,44 A

I₃ = UR₃

= 72 V60 Ω

= 1,2 A

2Gesamtstrom

Am Knoten teilt sich der Strom auf und kommt am anderen Knoten wieder zusammen. Also: Zweigströme addieren.

I = I₁ + I₂ + I₃

= 1,2 A + 1,44 A + 1,2 A

= 3,84 A

3Gesamtwiderstand

Der schnellste Weg: Ohmsches Gesetz mit dem Gesamtstrom. Zur Kontrolle danach noch über die Kehrwerte.

R_ges = UI

= 72 V3,84 A

= 18,75 Ω

4Probe über die Kehrwerte

Parallel addieren sich die Kehrwerte. Am Ende den Kehrwert nehmen, sonst hast du 1/R_ges statt R_ges.

1R_ges = 1R₁ + 1R₂ + 1R₃

= 160 Ω + 150 Ω + 160 Ω

= 5300 Ω + 6300 Ω + 5300 Ω (gleicher Nenner)

= 16300 Ω

R_ges = 300 Ω16

= 18,75 Ω

Kontrolle mit dem Gefühl: R_ges = 18,75 Ω ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand (50 Ω). ✓

Kann ich, erledigt

3.3Gleiche Widerständeleicht

Vier gleiche Widerstände von je 100 Ω liegen parallel an 50 V. Wie groß sind R_ges, jeder Zweigstrom und der Gesamtstrom?

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Vier gleiche Wege: R_ges ist ein Viertel.

Lösung mit Rechenweg

1Gleiche Widerstände

n gleiche Widerstände parallel: einfach durch n teilen.

R_ges = Rn

= 100 Ω4

= 25 Ω

2Zweigströme

An jedem liegt die volle Spannung.

I₁ = UR₁

= 50 V100 Ω

= 0,5 A

3Gesamtstrom

Vier gleiche Zweige, also viermal derselbe Strom.

I = 4 · 0,5 A

= 2 A

4Probe

Mit R_ges muss derselbe Strom herauskommen.

I = UR_ges

= 50 V25 Ω

= 2 A ✓

Kann ich, erledigt

3.4Rückwärts: der fehlende Widerstandmittel

R₁ = 30 Ω und ein unbekannter R₂ liegen parallel an 24 V. Der Gesamtstrom ist I = 1,4 A. Berechne I₁, I₂, R₂ und R_ges.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Fang bei dem Widerstand an, den du kennst.

Lösung mit Rechenweg

GegebenU = 24 VR₁ = 30 ΩI = 1,4 A

GesuchtI₁I₂R₂R_ges

1Strom durch R₁

An R₁ liegt die volle Spannung.

I₁ = UR₁

= 24 V30 Ω

= 0,8 A = 800 mA

2Strom durch R₂

Knotenregel rückwärts: Was vom Gesamtstrom nicht durch R₁ geht, geht durch R₂.

I₂ = I − I₁

= 1,4 A − 0,8 A

= 0,6 A = 600 mA

3Widerstand R₂

Jetzt kennst du an R₂ Spannung und Strom.

R₂ = UI₂

= 24 V0,6 A

= 40 Ω

4Gesamtwiderstand und Probe

Einmal über U / I, einmal über Produkt durch Summe. Beide müssen gleich sein.

R_ges = UI

= 24 V1,4 A

≈ 17,14 Ω

R_ges = 30 Ω · 40 Ω30 Ω + 40 Ω

= 1200 Ω²70 Ω

≈ 17,14 Ω ✓

Kann ich, erledigt

3.5Stromteilermittel

In die Gruppe fließen I_ges = 3 A. Berechne I₁ und I₂ nur mit dem Stromverhältnis.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Stromteiler: Oben im Bruch steht der andere Widerstand.

Lösung mit Rechenweg

Parallel gilt I₁ : I₂ = R₂ : R₁ (umgekehrt!) = 30 : 120.

I₁ = I_ges · R₂ / (R₁ + R₂) = 3 A · 30 Ω / 150 Ω = 0,6 A = 600 mA

I₂ = I_ges − I₁ = 2,4 A

Kontrolle: Der kleinere Widerstand führt den größeren Strom ✓

Kann ich, erledigt

Kapitel 4

Gemischte Schaltungen

Die meisten Schaltungen auf deinen Blättern sind gemischt: ein Teil in Reihe, ein Teil parallel. Neue Formeln brauchst du dafür nicht. Du brauchst nur eine Reihenfolge.

Die Idee: zweimal laufen

★Hinweg und Rückweg

Hinweg: zusammenfassen. Such die innerste Gruppe, die eindeutig Reihe oder parallel ist, und ersetze sie durch einen einzigen Widerstand. Zeichne neu. Wiederhole, bis nur noch R_ges übrig ist.
Gesamtstrom: I_ges = U / R_ges.
Rückweg: verteilen. Geh die Zeichnungen rückwärts durch. In einer Reihe verteilst du die Spannung (U = I · R, der Strom ist gleich). An einer Parallelgruppe verteilst du den Strom (I = U / R, die Spannung ist gleich).
Proben: Spannungen einer Reihe ergeben zusammen die Gesamtspannung, Zweigströme ergeben zusammen den Strom davor.

Die Struktur als Formel schreiben

Bevor du rechnest, schreib auf, was womit zusammenhängt. Für »parallel« nimmt man das Zeichen ∥, für »Reihe« das Plus, Klammern zeigen die Gruppen:

R₁ + (R₂ ∥ R₃)

Gelesen: R₁ in Reihe mit der Gruppe aus R₂ parallel R₃.

Vorbild: komplett vorgerechnet

R₂ und R₃ hängen an denselben zwei Punkten, also parallel. Zusammengefasst zu R₂₃.

Übrig bleiben R₁ und R₂₃ hintereinander, ohne Abzweig dazwischen. Das ist eine Reihe, zusammengefasst zu R_ges.

GegebenU = 40 VR₁ = 16 ΩR₂ = 40 ΩR₃ = 60 Ω

GesuchtR_gesI_gesU₁U₂₃I₂I₃

1Hinweg: die innere Gruppe

Innen zuerst. R₂ ∥ R₃, genau zwei Widerstände, also Produkt durch Summe.

R₂₃ = 40 Ω · 60 Ω40 Ω + 60 Ω

= 2400 Ω²100 Ω

= 24 Ω

2Hinweg: die Reihe

Jetzt hängen R₁ und R₂₃ hintereinander. Reihe heißt addieren.

R_ges = R₁ + R₂₃

= 16 Ω + 24 Ω

= 40 Ω

3Gesamtstrom

Die ganze Schaltung wirkt wie ein Widerstand von 40 Ω an 40 V.

I_ges = UR_ges

= 40 V40 Ω

= 1 A

4Rückweg: die Reihe verteilt die Spannung

Durch R₁ und durch die Gruppe R₂₃ fließt derselbe Strom I_ges. Damit bekommst du die Spannungen.

U₁ = I_ges · R₁

= 1 A · 16 Ω

= 16 V

U₂₃ = I_ges · R₂₃

= 1 A · 24 Ω

= 24 V

5Rückweg: die Gruppe verteilt den Strom

An R₂ und R₃ liegt dieselbe Spannung U₂₃ = 24 V. Jeder Zweig bekommt seinen eigenen Strom.

I₂ = U₂₃R₂

= 24 V40 Ω

= 0,6 A

I₃ = U₂₃R₃

= 24 V60 Ω

= 0,4 A

6Proben

Eine Probe für die Reihe, eine für den Knoten.

U₁ + U₂₃

= 16 V + 24 V

= 40 V = U ✓

I₂ + I₃

= 0,6 A + 0,4 A

= 1 A = I_ges ✓

!Der häufigste Fehler

Auf dem Rückweg den Gesamtstrom durch einen einzelnen Zweig schicken: 24 V durch 40 Ω sind 0,6 A, nicht 1 A. Nur in einer Reihe fließt überall derselbe Strom. An einer Parallelgruppe teilt er sich.

▣Wie auf deinem Blatt: Rechnen mit Verhältnissen

Auf dem Blatt steht: »Bestimmen Sie mit Hilfe von Strom- bzw. Spannungsverhältnissen«. Gemeint ist: Du musst nicht jeden Wert einzeln über das Ohmsche Gesetz holen. Oft reicht ein Verhältnis:

Reihe: U₁ : U₂ = R₁ : R₂. Der größere Widerstand bekommt die größere Spannung.
Parallel: I₁ : I₂ = R₂ : R₁. Umgekehrt! Der kleinere Widerstand bekommt den größeren Strom.

Aufgabe 4.4 unten ist genau so aufgebaut wie die Übung auf deinem Blatt, nur mit anderen Zahlen.

Übungen

4.1Gesamtwiderstand bestimmenleicht

Schreib die Struktur als Formel, zum Beispiel R₁ + (R₂ ∥ R₃), und berechne R_ges zwischen A und B.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Innerste Gruppe zuerst: Welche zwei hängen an denselben zwei Punkten?

Lösung mit Rechenweg

Struktur: R₁ + (R₂ ∥ R₃)

R₂₃ = R₂ ∥ R₃ = (15 Ω · 15 Ω) / (15 Ω + 15 Ω) = 7,5 Ω

R_ges = R₁ + R₂₃ = 5 Ω + 7,5 Ω = 12,5 Ω

Kann ich, erledigt

4.2Gesamtwiderstand bestimmenleicht

Schreib die Struktur als Formel, zum Beispiel R₁ + (R₂ ∥ R₃), und berechne R_ges zwischen A und B.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Hier steckt eine Reihe innerhalb einer Parallelgruppe. Die Reihe zuerst zusammenfassen.

Lösung mit Rechenweg

Struktur: R₁ + ((R₂ + R₃) ∥ R₄)

R₂₃ = R₂ + R₃ = 90 Ω + 15 Ω = 105 Ω

R₂₃₄ = R₂₃ ∥ R₄ = (105 Ω · 120 Ω) / (105 Ω + 120 Ω) = 56 Ω

R_ges = R₁ + R₂₃₄ = 40 Ω + 56 Ω = 96 Ω

Kann ich, erledigt

4.3Gemischte Schaltung komplettmittel

Berechne R_ges, I_ges und alle Teilspannungen und Teilströme. Mach am Ende beide Proben.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Hinweg bis R_ges, dann I_ges, dann rückwärts verteilen.

Lösung mit Rechenweg

Struktur: (R₁ ∥ R₂) + R₃

Hinweg: zusammenfassen, innen zuerst

R₁₂ = R₁ ∥ R₂ = (24 Ω · 12 Ω) / (24 Ω + 12 Ω) = 8 Ω

R_ges = R₁₂ + R₃ = 8 Ω + 12 Ω = 20 Ω

Rückweg: verteilen

I_ges = U_ges / R_ges = 30 V / 20 Ω = 1,5 A

R_ges ist eine Reihe: durch jedes Teil fließt I_ges = 1,5 A.

U₁₂ = I_ges · R₁₂ = 1,5 A · 8 Ω = 12 V

U₃ = I_ges · R₃ = 1,5 A · 12 Ω = 18 V

R₁₂ ist eine Parallelgruppe: an jedem Zweig liegt U₁₂ = 12 V.

I₁ = U₁₂ / R₁ = 12 V / 24 Ω = 0,5 A = 500 mA

I₂ = U₁₂ / R₂ = 12 V / 12 Ω = 1 A

Proben

Weg: 12 V + 18 V = 30 V = U_ges ✓

Knoten: 0,5 A + 1 A = 1,5 A = I₁₂ ✓

Kann ich, erledigt

4.4Wie auf dem Blatt: mit Verhältnissenmittel

Punkt 2 ist der Knoten zwischen R₁ und der Gruppe aus R₂ und R₃.

Gemessen wird I₃ = 1 A. Bestimme mit Hilfe von Strom- bzw. Spannungsverhältnissen: R₁₃, I₁, I₂, U₁₂, U₂₃.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Fang dort an, wo du zwei Werte eines Bauteils kennst: an R₃ kennst du I₃ und R₃, also auch U₂₃. Die Spannung U₂₃ liegt auch an R₂.

Lösung mit Rechenweg

GegebenR₁ = 45 ΩR₂ = 24 ΩR₃ = 12 ΩI₃ = 1 A

GesuchtR₁₃I₁I₂U₁₂U₂₃

1Spannung an der Gruppe

An R₃ kennst du Strom und Widerstand. R₂ und R₃ hängen an denselben Punkten 2 und 3, also liegt U₂₃ an beiden.

U₂₃ = I₃ · R₃

= 1 A · 12 Ω

= 12 V

2Strom durch R₂ über das Stromverhältnis

Parallel gilt: Die Ströme verhalten sich umgekehrt wie die Widerstände. Der kleinere Widerstand bekommt den größeren Strom.

I₂I₃ = R₃R₂

= 12 Ω24 Ω

also I₂ = 1 A · 1224 = 0,5 A = 500 mA

3Strom durch R₁

Am Knoten 2 kommt der ganze Strom an und teilt sich auf. Also ist I₁ die Summe der Zweigströme.

I₁ = I₂ + I₃

= 0,5 A + 1 A

= 1,5 A

4Widerstände zusammenfassen

Zwei parallele Widerstände: Produkt durch Summe. Dazu kommt R₁ in Reihe.

R₂₃ = R₂ · R₃R₂ + R₃

= 24 Ω · 12 Ω24 Ω + 12 Ω

= 8 Ω

R₁₃ = R₁ + R₂₃

= 45 Ω + 8 Ω

= 53 Ω

5Spannung an R₁ über das Spannungsverhältnis

R₁ und die Gruppe R₂₃ liegen in Reihe. In Reihe verhalten sich die Spannungen wie die Widerstände.

U₁₂U₂₃ = R₁R₂₃

= 45 Ω8 Ω

also U₁₂ = 12 V · 458 = 67,5 V

6Probe

Direkt mit dem Ohmschen Gesetz nachrechnen: I₁ fließt durch R₁.

U₁₂ = I₁ · R₁

= 1,5 A · 45 Ω

= 67,5 V ✓

Kann ich, erledigt

4.5Gemischte Schaltung komplettmittel

Berechne R_ges, I_ges und alle Teilspannungen und Teilströme. Mach am Ende beide Proben.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Drei parallele Widerstände: Kehrwerte addieren, nicht Produkt durch Summe.

Lösung mit Rechenweg

Struktur: R₁ + (R₂ ∥ R₃ ∥ R₄)

Hinweg: zusammenfassen, innen zuerst

1 / R₂₃₄ = 1 / 40 Ω + 1 / 180 Ω + 1 / 40 Ω, also R₂₃₄ = 18 Ω

R_ges = R₁ + R₂₃₄ = 12 Ω + 18 Ω = 30 Ω

Rückweg: verteilen

I_ges = U_ges / R_ges = 12 V / 30 Ω = 0,4 A = 400 mA

R_ges ist eine Reihe: durch jedes Teil fließt I_ges = 400 mA.

U₁ = I_ges · R₁ = 0,4 A · 12 Ω = 4,8 V

U₂₃₄ = I_ges · R₂₃₄ = 0,4 A · 18 Ω = 7,2 V

R₂₃₄ ist eine Parallelgruppe: an jedem Zweig liegt U₂₃₄ = 7,2 V.

I₂ = U₂₃₄ / R₂ = 7,2 V / 40 Ω = 0,18 A = 180 mA

I₃ = U₂₃₄ / R₃ = 7,2 V / 180 Ω = 0,04 A = 40 mA

I₄ = U₂₃₄ / R₄ = 7,2 V / 40 Ω = 0,18 A = 180 mA

Proben

Weg: 4,8 V + 7,2 V = 12 V = U_ges ✓

Knoten: 0,18 A + 0,04 A + 0,18 A = 0,4 A = I₂₃₄ ✓

Kann ich, erledigt

4.6Gemischte Schaltung komplettmittel

Berechne R_ges, I_ges und alle Teilspannungen und Teilströme. Mach am Ende beide Proben.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Zwei Reihen nebeneinander. Jede Reihe ist ein eigener Zweig mit der vollen Spannung.

Lösung mit Rechenweg

Struktur: (R₁ + R₂) ∥ (R₃ + R₄)

Hinweg: zusammenfassen, innen zuerst

R₁₂ = R₁ + R₂ = 10 Ω + 90 Ω = 100 Ω

R₃₄ = R₃ + R₄ = 120 Ω + 180 Ω = 300 Ω

R_ges = R₁₂ ∥ R₃₄ = (100 Ω · 300 Ω) / (100 Ω + 300 Ω) = 75 Ω

Rückweg: verteilen

I_ges = U_ges / R_ges = 72 V / 75 Ω = 0,96 A = 960 mA

R_ges ist eine Parallelgruppe: an jedem Zweig liegt U_ges = 72 V.

I₁₂ = U_ges / R₁₂ = 72 V / 100 Ω = 0,72 A = 720 mA

I₃₄ = U_ges / R₃₄ = 72 V / 300 Ω = 0,24 A = 240 mA

R₁₂ ist eine Reihe: durch jedes Teil fließt I₁₂ = 720 mA.

U₁ = I₁₂ · R₁ = 0,72 A · 10 Ω = 7,2 V

U₂ = I₁₂ · R₂ = 0,72 A · 90 Ω = 64,8 V

R₃₄ ist eine Reihe: durch jedes Teil fließt I₃₄ = 240 mA.

U₃ = I₃₄ · R₃ = 0,24 A · 120 Ω = 28,8 V

U₄ = I₃₄ · R₄ = 0,24 A · 180 Ω = 43,2 V

Proben

Knoten: 0,72 A + 0,24 A = 0,96 A = I_ges ✓

Weg: 7,2 V + 64,8 V = 72 V = U₁₂ ✓

Weg: 28,8 V + 43,2 V = 72 V = U₃₄ ✓

Kann ich, erledigt

4.7Wie das 380-V-Blatt: die große Leiterschwer

a) Berechne R_ges. b) Bestimme mit Hilfe von Strom- bzw. Spannungsverhältnissen I₁, I₂, I₃ und U_CD.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Benenne die Knoten und fang am weitesten weg von A und F an: Bei D zweigt nichts ab, also sind R₇ und R₆ in Reihe. Danach Schritt für Schritt nach vorne.

Lösung mit Rechenweg

Struktur: R₁ + (R₃ ∥ (R₄ + (R₅ ∥ (R₇ + R₆)))) + R₂

Umzeichnen Stufe für Stufe ansehen

Stufe 0: dieselbe Schaltung, ordentlich gezeichnet

Zusammengefasst: R₆₇

Zusammengefasst: R₅₆₇

Zusammengefasst: R₄₅₆₇

Zusammengefasst: R₃₄₅₆₇

Zusammengefasst: R_ges

Hinweg: zusammenfassen, innen zuerst

R₆₇ = R₇ + R₆ = 10 Ω + 10 Ω = 20 Ω

R₅₆₇ = R₅ ∥ R₆₇ = (80 Ω · 20 Ω) / (80 Ω + 20 Ω) = 16 Ω

R₄₅₆₇ = R₄ + R₅₆₇ = 24 Ω + 16 Ω = 40 Ω

R₃₄₅₆₇ = R₃ ∥ R₄₅₆₇ = (24 Ω · 40 Ω) / (24 Ω + 40 Ω) = 15 Ω

R_ges = R₁ + R₃₄₅₆₇ + R₂ = 50 Ω + 15 Ω + 10 Ω = 75 Ω

Rückweg: verteilen

I_ges = U_ges / R_ges = 60 V / 75 Ω = 0,8 A = 800 mA

R_ges ist eine Reihe: durch jedes Teil fließt I_ges = 800 mA.

U₁ = I_ges · R₁ = 0,8 A · 50 Ω = 40 V

U₃₄₅₆₇ = I_ges · R₃₄₅₆₇ = 0,8 A · 15 Ω = 12 V

U₂ = I_ges · R₂ = 0,8 A · 10 Ω = 8 V

R₃₄₅₆₇ ist eine Parallelgruppe: an jedem Zweig liegt U₃₄₅₆₇ = 12 V.

I₃ = U₃₄₅₆₇ / R₃ = 12 V / 24 Ω = 0,5 A = 500 mA

I₄₅₆₇ = U₃₄₅₆₇ / R₄₅₆₇ = 12 V / 40 Ω = 0,3 A = 300 mA

R₄₅₆₇ ist eine Reihe: durch jedes Teil fließt I₄₅₆₇ = 300 mA.

U₄ = I₄₅₆₇ · R₄ = 0,3 A · 24 Ω = 7,2 V

U₅₆₇ = I₄₅₆₇ · R₅₆₇ = 0,3 A · 16 Ω = 4,8 V

R₅₆₇ ist eine Parallelgruppe: an jedem Zweig liegt U₅₆₇ = 4,8 V.

I₅ = U₅₆₇ / R₅ = 4,8 V / 80 Ω = 0,06 A = 60 mA

I₆₇ = U₅₆₇ / R₆₇ = 4,8 V / 20 Ω = 0,24 A = 240 mA

R₆₇ ist eine Reihe: durch jedes Teil fließt I₆₇ = 240 mA.

U₇ = I₆₇ · R₇ = 0,24 A · 10 Ω = 2,4 V

U₆ = I₆₇ · R₆ = 0,24 A · 10 Ω = 2,4 V

Die gesuchten Werte

R_ges = 75 Ω

I₁ = I_ges = 0,8 A = 800 mA (fließt durch R₁ und R₂)

I₂ = I durch R₄ = 0,3 A = 300 mA

I₃ = I durch R₇ und R₆ = 0,24 A = 240 mA

U_CD = U an R₇ = 2,4 V

Proben

Weg: 40 V + 12 V + 8 V = 60 V = U_ges ✓

Knoten: 0,5 A + 0,3 A = 0,8 A = I₃₄₅₆₇ ✓

Weg: 7,2 V + 4,8 V = 12 V = U₄₅₆₇ ✓

Knoten: 0,06 A + 0,24 A = 0,3 A = I₅₆₇ ✓

Weg: 2,4 V + 2,4 V = 4,8 V = U₆₇ ✓

Kann ich, erledigt

Kapitel 5

Das Potenzial

Bis jetzt hast du Spannungen zwischen zwei Punkten berechnet. Das Potenzial ist die Höhe eines einzelnen Punktes. Damit kannst du jede Spannung in der Schaltung sofort ablesen.

Das Hochhaus

Stell dir ein Hochhaus vor. Das Erdgeschoss ist die Null, darüber wird hochgezählt, der Keller bekommt ein Minus. A steht in Etage 12, B in Etage 4. Wie hoch steht A? 12, eine Angabe über einen Punkt. Wie weit sind A und B auseinander? 8, eine Angabe über zwei Punkte.

In der Elektrotechnik heißt die Höhe eines Punktes Potenzial, Zeichen φ (gesprochen »fi«), Einheit Volt. Der Abstand zwischen zwei Punkten ist die Spannung.

Das Erdgeschoss heißt Masse

Ein Potenzial ergibt nur Sinn, wenn feststeht, welcher Punkt die Null ist. Diesen Punkt nennt man Bezugspunkt oder Masse, er bekommt φ = 0 V. Auf deinen Blättern ist es der dicke Balken:

Ist nichts vorgegeben, nimm den Minuspol der Quelle. Ein Minus ist völlig normal: φ = −40 V heißt nur, dass der Punkt 40 V unter der Masse liegt.

Die Formel für die Spannung

U₁₂ = φ₁ − φ₂

U₁₂	Spannung von Punkt 1 nach Punkt 2
φ₁, φ₂	Potenziale der beiden Punkte gegen Masse
In Worten	Höhe des ersten Punktes minus Höhe des zweiten.
Umgestellt	φ₁ = φ₂ + U₁₂, wenn ein Potenzial gesucht ist.
Richtung	U₂₁ = −U₁₂. Andere Reihenfolge, anderes Vorzeichen.

Die Quelle ist ein Aufzug, der Widerstand ist eine Treppe

Quelle: lange, dünne Platte = Plus. Gehst du von Minus nach Plus durch die Quelle, steigt das Potenzial um ihre Spannung. Von Plus nach Minus fällt es.
Widerstand: In Stromrichtung geht es abwärts, um genau U = I · R. Mit dem Strom durch einen Widerstand: abziehen. Gegen den Strom: dazuzählen.

★Vier Schritte für jede Potenzialaufgabe

Wo ist die Null? Schreib φ = 0 V an den Massepunkt.
Wie groß ist der Strom? In einer Kette: I = U geteilt durch alle Widerstände dieser Kette.
Lauf von der Masse los, Punkt für Punkt. Bei jeder Treppe: mit dem Strom minus, gegen den Strom plus.
Probe: Potenzial am Pluspol minus Potenzial am Minuspol muss die Quellspannung ergeben.

Vorbild wie Blatt Aufgabe 1: zwei Quellen an einer Masse

1Die Null festlegen

Die Masse hängt an der unteren Leitung. Alles, was ohne Bauteil daran hängt, hat 0 V.

φ₀ = 0 V

2Durch die Quellen nach oben

Die 10-V-Quelle hat Minus unten an der Masse und Plus oben. Von Minus nach Plus: 10 V aufwärts. Genauso die 8-V-Quelle.

φ_A = 0 V + 10 V

= 10 V

φ_B = 0 V + 8 V

= 8 V

3Spannungen = Differenzen

Jede Spannung ist Potenzial minus Potenzial, in der Reihenfolge der kleinen Buchstaben.

U_AB = φ_A − φ_B

= 10 V − 8 V

= 2 V

U_B0 = φ_B − φ₀

= 8 V − 0 V

= 8 V

U_A0 = φ_A − φ₀

= 10 V − 0 V

= 10 V

Probe: U_AB + U_B0 = 2 V + 8 V = 10 V = U_A0 ✓

Vorbild: eine Reihe mit Masse

Dieselbe Schaltung wie im Kapitel Reihenschaltung: 24 V an 100 Ω, 200 Ω und 300 Ω, die Masse am Minuspol (Punkt 4).

R_ges = 100 Ω + 200 Ω + 300 Ω = 600 Ω

I = U / R_ges = 24 V / 600 Ω = 0,04 A = 40 mA

Treppe an R₁: U₁ = I · R₁ = 0,04 A · 100 Ω = 4 V

Treppe an R₂: U₂ = I · R₂ = 0,04 A · 200 Ω = 8 V

Treppe an R₃: U₃ = I · R₃ = 0,04 A · 300 Ω = 12 V

Die Masse liegt an Punkt 4: φ₄ = 0 V.

φ₃ = φ₄ + U₃ = 0 V + 12 V = 12 V (gegen den Strom: Treppe hoch)

φ₂ = φ₃ + U₂ = 12 V + 8 V = 20 V (gegen den Strom: Treppe hoch)

φ₁ = φ₂ + U₁ = 20 V + 4 V = 24 V (gegen den Strom: Treppe hoch)

Probe: φ₁ − φ₄ = 24 V − 0 V = 24 V = U ✓

Die Treppe: jeder Widerstand eine Stufe nach unten

Jetzt wandert die Masse an Punkt 3

Punkt 3 hatte 12 V. Wird er zur Null, ziehst du von jedem Potenzial 12 V ab. Neu rechnen musst du nichts.

	φ₁	φ₂	φ₃	φ₄	U₁₂	U₂₃	U₃₄
Masse an 4	24 V	20 V	12 V	0 V	4 V	8 V	12 V
Masse an 3	12 V	8 V	0 V	−12 V	4 V	8 V	12 V

★Merke

Masse verlegen verschiebt alle Potenziale um denselben Betrag. Die Spannungen bleiben gleich, denn der Abstand zwischen zwei Etagen hängt nicht davon ab, wo das Erdgeschoss ist.

✗Die typischen Fehler

Potenzial und Spannung verwechseln. Rettungsfrage: wovon aus? Das Potenzial zählt von der Masse, die Spannung vom anderen Punkt.
Mit dem Strom durch einen Widerstand und dabei addieren. Geht die Probe nicht auf, such zuerst hier.
Die Masse mitten in der Rechnung wechseln. Einmal festlegen, dabei bleiben.
Vor einem Minus erschrecken. Minus heißt nur: unter der Null.

Übungen

5.1Quellen hintereinandermittel

Berechne alle Potenziale und die Spannung U_AB. Lange dünne Platte = Plus.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Fang an der Masse an und geh Quelle für Quelle weiter. Lange Platte = Plus.

Lösung mit Rechenweg

φ₀ = 0 V, dort liegt die Masse.

Von 0 nach 2: Plus zeigt zu 2. Du gehst von Minus nach Plus, also aufwärts: φ₂ = 0 V + 4,5 V = 4,5 V

Von 2 nach B: Plus zeigt zu B. Du gehst von Minus nach Plus, also aufwärts: φ_B = 4,5 V + 6 V = 10,5 V

Von 0 nach A: Plus zeigt zu 0. Du gehst von Plus nach Minus, also abwärts: φ_A = 0 V − 4,5 V = −4,5 V

U_AB = φ_A − φ_B = −4,5 V − 10,5 V = −15 V

Kann ich, erledigt

5.2Potenziale in einer Reiheleicht

Berechne den Strom I, alle Potenziale und die Spannung U₂₄.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Erst den Strom, dann von der Masse aus Treppe für Treppe.

Lösung mit Rechenweg

R_ges = 100 Ω + 60 Ω + 60 Ω = 220 Ω

I = U / R_ges = 220 V / 220 Ω = 1 A

Treppe an R₁: U₁ = I · R₁ = 1 A · 100 Ω = 100 V

Treppe an R₂: U₂ = I · R₂ = 1 A · 60 Ω = 60 V

Treppe an R₃: U₃ = I · R₃ = 1 A · 60 Ω = 60 V

Die Masse liegt an Punkt 4: φ₄ = 0 V.

φ₃ = φ₄ + U₃ = 0 V + 60 V = 60 V (gegen den Strom: Treppe hoch)

φ₂ = φ₃ + U₂ = 60 V + 60 V = 120 V (gegen den Strom: Treppe hoch)

φ₁ = φ₂ + U₁ = 120 V + 100 V = 220 V (gegen den Strom: Treppe hoch)

Probe: φ₁ − φ₄ = 220 V − 0 V = 220 V = U ✓

U₂₄ = φ₂ − φ₄ = 120 V − 0 V = 120 V

Kann ich, erledigt

5.3Potenziale in einer Reihemittel

Berechne den Strom I, alle Potenziale und die Spannung U₂₄.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Die Masse liegt mitten in der Kette. Links davon geht es gegen den Strom, also plus.

Lösung mit Rechenweg

R_ges = 80 Ω + 10 Ω + 20 Ω = 110 Ω

I = U / R_ges = 44 V / 110 Ω = 0,4 A = 400 mA

Treppe an R₁: U₁ = I · R₁ = 0,4 A · 80 Ω = 32 V

Treppe an R₂: U₂ = I · R₂ = 0,4 A · 10 Ω = 4 V

Treppe an R₃: U₃ = I · R₃ = 0,4 A · 20 Ω = 8 V

Die Masse liegt an Punkt 2: φ₂ = 0 V.

φ₁ = φ₂ + U₁ = 0 V + 32 V = 32 V (gegen den Strom: Treppe hoch)

φ₃ = φ₂ − U₂ = 0 V − 4 V = −4 V (mit dem Strom: Treppe runter)

φ₄ = φ₃ − U₃ = −4 V − 8 V = −12 V (mit dem Strom: Treppe runter)

Probe: φ₁ − φ₄ = 32 V − (−12 V) = 44 V = U ✓

U₂₄ = φ₂ − φ₄ = 0 V − (−12 V) = 12 V

Kann ich, erledigt

5.4Zwei Zweige, eine Masseschwer

Berechne die beiden Ströme und alle Potenziale.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Wie Blatt Aufgabe 3: Jeder Zweig hängt an der vollen Spannung und hat seinen eigenen Strom.

Lösung mit Rechenweg

Beide Zweige hängen direkt an der Quelle, jeder bekommt die vollen 30 V.

I₁ = U / (R₁ + R₂) = 30 V / 15 Ω = 2 A

I₂ = U / (R₃ + R₄ + R₅) = 30 V / 30 Ω = 1 A

Links: Die Masse liegt an φ₀ = 0 V.

φ₁ = φ₀ + I₁ · R₁ = 0 V + 2 A · 10 Ω = 20 V (gegen den Strom)

φ₂ = φ₀ − I₁ · R₂ = 0 V − 2 A · 5 Ω = −10 V (mit dem Strom)

Rechts: oben bei φ₁ = 20 V beginnen und mit dem Strom nach unten gehen.

φ₃ = 20 V − 1 A · 6 Ω = 14 V

φ₄ = 14 V − 1 A · 20 Ω = −6 V

φ₂ = −6 V − 1 A · 4 Ω = −10 V ✓ Probe: Der rechte Weg kommt beim selben Wert an wie der linke.

Kann ich, erledigt

5.5Rückwärts: vom Messwert zum Widerstandschwer

Drei Widerstände liegen in Reihe zwischen den Klemmen 1 und 4. Gemessen wurden U₁₂ = 5 V, U₂₃ = 10 V und U₃₄ = 3 V. Bekannt ist R₁ = 10 Ω. Klemme 2 liegt auf Masse.

a) Gesamtspannung · b) Strom · c) R₂ und R₃ · d) die Potenziale φ₁ bis φ₄

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Wie Blatt Aufgabe 4: Aus U₁₂ und R₁ bekommst du den Strom, und der ist in der Reihe überall gleich.

Lösung mit Rechenweg

a) U = 5 V + 10 V + 3 V = 18 V (in Reihe addieren sich die Spannungen)

b) I = U₁₂ / R₁ = 5 V / 10 Ω = 0,5 A = 500 mA (durch alle drei fließt derselbe Strom)

c) R₂ = U₂₃ / I = 10 V / 0,5 A = 20 Ω · R₃ = 3 V / 0,5 A = 6 Ω

d) φ₂ = 0 V (Masse) · φ₁ = 0 V + U₁₂ = 5 V · φ₃ = 0 V − U₂₃ = −10 V · φ₄ = −10 V − 3 V = −13 V

Kann ich, erledigt

5.6Die Masse wandertmittel

a) Berechne alle Potenziale mit der Masse an Punkt 4.

b) Jetzt wird die Masse an Punkt 2 gelegt. Berechne die neuen Potenziale, ohne neu mit dem Strom zu rechnen.

c) Wie groß ist U₁₃ vorher und nachher?

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Masse verlegen heißt: alle Potenziale um denselben Wert verschieben.

Lösung mit Rechenweg

R_ges = 10 Ω + 10 Ω + 20 Ω = 40 Ω

I = U / R_ges = 20 V / 40 Ω = 0,5 A = 500 mA

Treppe an R₁: U₁ = I · R₁ = 0,5 A · 10 Ω = 5 V

Treppe an R₂: U₂ = I · R₂ = 0,5 A · 10 Ω = 5 V

Treppe an R₃: U₃ = I · R₃ = 0,5 A · 20 Ω = 10 V

Die Masse liegt an Punkt 4: φ₄ = 0 V.

φ₃ = φ₄ + U₃ = 0 V + 10 V = 10 V (gegen den Strom: Treppe hoch)

φ₂ = φ₃ + U₂ = 10 V + 5 V = 15 V (gegen den Strom: Treppe hoch)

φ₁ = φ₂ + U₁ = 15 V + 5 V = 20 V (gegen den Strom: Treppe hoch)

Probe: φ₁ − φ₄ = 20 V − 0 V = 20 V = U ✓

b) Punkt 2 hatte vorher 15 V. Wird er zur Null, ziehst du von jedem Potenzial 15 V ab.

Punkt	φ₁	φ₂	φ₃	φ₄
Masse an 4	20 V	15 V	10 V	0 V
Masse an 2	5 V	0 V	−5 V	−15 V

c) U₁₃ = 20 V − 10 V = 10 V vorher und 5 V − (−5 V) = 10 V nachher. Die Spannung bleibt gleich, nur die Potenziale haben sich verschoben.

Kann ich, erledigt

Kapitel 6

Umzeichnen

Manche Schaltungen sind so gezeichnet, dass man Reihe und parallel nicht auf den ersten Blick sieht: schräge Widerstände, Leitungen über Kreuz. Dann zeichnest du sie um, bevor du rechnest.

Ein Knoten ist ein Punkt, egal wie lang die Leitung ist

Die wichtigste Regel: Alles, was durch Leitung ohne Bauteil dazwischen zusammenhängt, ist ein einziger Punkt. Mal im Kopf jede zusammenhängende Leitung in einer Farbe an.

R₂ und R₃ haben beide ein blaues und ein oranges Ende. Also sind sie parallel, obwohl R₃ unten herum gezeichnet ist.

★Zwei Prüffragen für jedes Paar

Gibt es zwischen den beiden einen Abzweig? Wenn nein: Reihe.
Hängen beide Enden jeweils am selben Knoten? Wenn ja: parallel.

Trifft keine Frage zu, gehören die beiden nicht direkt zusammen. Dann nimm ein anderes Paar.

✗Denkfalle

Untereinander gezeichnet heißt nicht parallel, in einer Linie heißt nicht Reihe. Es zählen nur die Knoten.

Vorbild wie Übung 2: die Leitungen über Kreuz

Die beiden Diagonalen sind nur Leitungen ohne Bauteil. Wo sich zwei Leitungen ohne Punkt kreuzen, sind sie nicht verbunden. Jetzt die Knoten färben:

Blau ist Knoten A, violett Knoten B, orange Knoten C. C reicht über die eine Diagonale bis unten rechts. Grün ist Knoten D, er reicht über die andere Diagonale bis oben rechts.

Jetzt die Liste, welcher Widerstand zwischen welchen Knoten hängt:

Bauteil	von	nach
R₂	A	B
R₁	A	C
R₄	B	C
R₃	B	D
R₅, R₆, R₇, R₈	C	D

R₅ bis R₈ haben alle ein oranges und ein grünes Ende: alle vier parallel. Umgezeichnet:

Struktur: R₂ ∥ (R₁ + (R₄ ∥ ((R₅ ∥ R₆ ∥ R₇ ∥ R₈) + R₃)))

Stufe für Stufe zusammenfassen

Zusammengefasst: R₅₆₇₈

Zusammengefasst: R₃₅₆₇₈

Zusammengefasst: R₃₄₅₆₇₈

Zusammengefasst: R₁₃₄₅₆₇₈

Zusammengefasst: R_ges

R₅₆₇₈ = R₅ ∥ R₆ ∥ R₇ ∥ R₈ = 40 Ω : 4 = 10 Ω (gleiche Widerstände parallel)

R₃₅₆₇₈ = R₅₆₇₈ + R₃ = 10 Ω + 30 Ω = 40 Ω

R₃₄₅₆₇₈ = R₄ ∥ R₃₅₆₇₈ = (40 Ω · 40 Ω) / (40 Ω + 40 Ω) = 20 Ω

R₁₃₄₅₆₇₈ = R₁ + R₃₄₅₆₇₈ = 20 Ω + 20 Ω = 40 Ω

R_ges = R₂ ∥ R₁₃₄₅₆₇₈ = (40 Ω · 40 Ω) / (40 Ω + 40 Ω) = 20 Ω

★Umzeichnen in vier Schritten

Knoten färben oder mit Buchstaben benennen.
Liste schreiben: welcher Widerstand zwischen welchen zwei Knoten.
Gleiche Knotenpaare heißt parallel. Ein Knoten mit genau zwei Bauteilen und sonst nichts heißt Reihe.
Neu zeichnen, innerste Gruppe zusammenfassen, wiederholen.

Übungen

6.1Aus der Liste zeichnenmittel

Eine Schaltung ist nur als Liste gegeben: Welcher Widerstand hängt zwischen welchen zwei Punkten? Die Klemmen sind A und B.

Bauteil	Wert	von	nach
R₁	60 Ω	A	C
R₂	120 Ω	C	B
R₃	60 Ω	C	B
R₄	300 Ω	A	B

a) Zeichne die Schaltung so, dass Reihe und parallel sofort zu sehen sind. b) Schreib die Struktur als Formel. c) Berechne R_ges.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Such Bauteile mit denselben zwei Punkten: die sind parallel. Ein Punkt, an dem genau zwei Bauteile hängen und sonst nichts, verbindet eine Reihe.

Lösung mit Rechenweg

Struktur: (R₁ + (R₂ ∥ R₃)) ∥ R₄

R₂₃ = R₂ ∥ R₃ = (120 Ω · 60 Ω) / (120 Ω + 60 Ω) = 40 Ω

R₁₂₃ = R₁ + R₂₃ = 60 Ω + 40 Ω = 100 Ω

R_ges = R₁₂₃ ∥ R₄ = (100 Ω · 300 Ω) / (100 Ω + 300 Ω) = 75 Ω

Kann ich, erledigt

6.2Aus der Liste zeichnen, größerschwer

Eine Schaltung ist nur als Liste gegeben: Welcher Widerstand hängt zwischen welchen zwei Punkten? Die Klemmen sind A und B.

Bauteil	Wert	von	nach
R₁	40 Ω	A	C
R₂	200 Ω	C	D
R₃	10 Ω	D	B
R₄	30 Ω	C	E
R₅	12 Ω	E	B

a) Zeichne die Schaltung so, dass Reihe und parallel sofort zu sehen sind. b) Schreib die Struktur als Formel. c) Berechne R_ges.

Rechenplatz: Formel wählen, rechnen, notieren

Tipp

Such Bauteile mit denselben zwei Punkten: die sind parallel. Ein Punkt, an dem genau zwei Bauteile hängen und sonst nichts, verbindet eine Reihe.

Lösung mit Rechenweg

Struktur: R₁ + ((R₂ + R₃) ∥ (R₄ + R₅))

R₂₃ = R₂ + R₃ = 200 Ω + 10 Ω = 210 Ω

R₄₅ = R₄ + R₅ = 30 Ω + 12 Ω = 42 Ω

R₂₃₄₅ = R₂₃ ∥ R₄₅ = (210 Ω · 42 Ω) / (210 Ω + 42 Ω) = 35 Ω

R_ges = R₁ + R₂₃₄₅ = 40 Ω + 35 Ω = 75 Ω

Kann ich, erledigt

Kapitel 7

Spickzettel

Alles auf einen Blick. Zum Wiederholen vor dem Unterricht oder vor einer Arbeit.

Ohmsches Gesetz	U = R · I	I = UR, R = UI
Reihe: Strom	I = I₁ = I₂ = …	überall gleich
Reihe: Spannung	U = U₁ + U₂ + …	teilt sich auf
Reihe: Widerstand	R_ges = R₁ + R₂ + …	größer als der größte
Spannungsteiler	U₁U₂ = R₁R₂	U₁ = U · R₁R_ges
Parallel: Spannung	U = U₁ = U₂ = …	überall gleich
Parallel: Strom	I = I₁ + I₂ + …	Knotenregel
Parallel: Widerstand	1R_ges = 1R₁ + 1R₂ + …	Kehrwert am Ende! Kleiner als der kleinste
Zwei parallel	R_ges = R₁ · R₂R₁ + R₂	nur für zwei
n gleiche parallel	R_ges = Rn
Stromteiler	I₁I₂ = R₂R₁	umgekehrt!
Potenzial	U₁₂ = φ₁ − φ₂	Masse: φ = 0 V
Gemischt	Hinweg: zusammenfassen	Rückweg: Reihe verteilt U, Gruppe verteilt I

?Nachschlagen im Tabellenbuch

Im Westermann-Tabellenbuch »Elektronik Tabellen« stehen dieselben Regeln im Kapitel Formeln unter Grundschaltungen. Die Seitenzahlen trage ich hier ein, sobald klar ist, welches Tabellenbuch im Unterricht benutzt wird.

Stand 19.09.2026, 19:20 Uhr · Alle Zahlen sind exakt gerechnet und geprüft.